BĐT C.B.S dạng Engel

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ

Định lý: Cho ${a_i},{b_i},\left( {1 \le i \le n} \right)$ là các số thực tùy ý. cmr:
                                       ${\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} \le \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2.\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } $

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Hệ quả: Nếu chọn ${a_i} = \frac{{{x_i}}}{{\sqrt {{y_i}} }},{b_i} = \sqrt {{y_i}} \left( {{x_i},{y_i} \in R,{y_i} > 0} \right)$ ta có:  

$\frac{{{x^2}_1}}{{{y_1}}} + \frac{{{x^2}_2}}{{{y_2}}} + ... + \frac{{{x^2}_n}}{{{y_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + ...{x_n}} \right)}^2}}}{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \frac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_3}}}{{{y_3}}} = ... = \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}}$

Nhận xét: BĐT Cauchy – Schwarz là một bất đẳng thức rất quen thuộc với các học sinh trung học phổ thông. Đặc biệt là hệ quả của nó dạng Engel, khi áp dụng tốt có thể giải quyết tốt các bài tập chứng minh BĐT dạng có mẫu một cách nhanh gọn và đẹp.

Các ví dụ minh họa:

1.      1. Cho các số thực dương x,y. cmr: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}$

Giải

            Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{{x + y}} = \frac{4}{{x + y}}$ (đpcm)

            Đẳng thức xảy ra khi: x=y

2.     2. Cho các số thực dương x,y,z. cmr: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}$

Giải

Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{x + y + z}} = \frac{9}{{x + y + z}}$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

3.      3.(BĐT Nesbit) Cho các số thực dương a,b,c. cmr: $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$

Nhận xét: BĐT đã cho là dạng có mẫu nhưng nếu muốn dùng hệ quả của Cauchy – Schwarz thì trên tử phải có dạng bình phương. Vì thế để áp dụng được Engel phải làm cho tử có dạng bình phương

Giải

\[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{a\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{b\left( {a + c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{c\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\]
Mà ta có: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}} \ge 3
\end{array}$

Khi đó ta có: \[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\]

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

4.      4.Cho các số thực dương a,b,c. cmr: $\frac{a}{{b + 2c}} + \frac{b}{{a + 2c}} + \frac{c}{{a + 2b}} \ge 1$

Nhận xét: BĐT đã cho là dạng có mẫu nhưng nếu muốn dùng hệ quả của Cauchy – Schwarz thì trên tử phải có dạng bình phương. Vì thế để áp dụng được Engel phải làm cho tử có dạng bình phương

Giải

\[\frac{a}{{b + 2c}} + \frac{b}{{c + 2a}} + \frac{c}{{a + 2b}} = \frac{{{a^2}}}{{a\left( {b + 2c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{b\left( {c + 2a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{c\left( {a + 2b} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = 1\]

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

5.      5C.ho các số thực dương a,b,c. cmr: $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{{c + a}} \ge a + b + c$

Nhận xét: BĐT đã cho là dạng có mẫu nên ta nghĩ ngay đến việc dùng hệ quả của Cauchy – Schwarz

Giải

$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{{c + a}} = \frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{b + c}} + \frac{{{a^2}}}{{c + a}}$

$ \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = a + b + c$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Lời kết

Trên đây chỉ là một số bài tập áp dụng cho BĐT C.B.S dạng Engel. Đây là một bđt tương đối mạnh để giải quyết các bài toán chứng minh bđt dạng có mẫu. Hy vọng bài viết sẽ hữ ích đối với các bạn đọc.

Các bài tập áp dụng

1.      Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{3}$. cmr: $\frac{{{a^3}}}{{2a + 3b + 5c}} + \frac{{{b^3}}}{{2b + 3c + 5a}} + \frac{{{c^3}}}{{2a + 3b + 5c}} \ge \frac{1}{{30}}$

2.      Cho các số thực dương a,b,c. cmr: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$