Xin giới thiệu các bài một bài toán cực trị hình học về dạng toán tìm điểm trên đường thẳng.
Ví dụ mở đầu: Cho hai điểm
A(1;2); B(3;1) và đường thẳng d: x+y-2=0. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
Xét biểu thức $f\left( {x,y} \right) = x + y - 2$. Ta có: ${f_A}.{f_B} = \left( {1 + 2 - 2} \right)\left( {3 + 1 - 2} \right) = 2 > 0$
Suy ra: A,B cùng phía so với đường thẳng d.
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng d. Ta có:
Đường thẳng d có vecto pháp tuyến
Ta có:
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d. Khi đó, H là
trung điểm của đoạn thẳng AA’.
Suy ra: $A'\left( {0;1} \right)$. Khi đó ta có: MA=MA’
Ta có:
Do đó: MA+MB đạt GTNN bằng A’B khi A,B,M thẳng hàng hay M là
giao điểm của đường thẳng qua AB và d.
Đường thẳng AB: x+2y-5=0.
Giao điểm M(-1;3) là điểm cần tìm.
Hơn thế nữa,
nếu thay câu hỏi thành: Tìm M trên đường thẳng trên d sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất
????
GIẢI:
Gọi I là trung điểm AB. Khi đó, ta có: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right| = 2MI$
Do đó: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ đạt GTNN khi MI nhỏ
nhất, tức là: I là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Bây giờ việc
tìm M xin nhường lại cho bạn đọc !!!??
Đặt vấn đề:
Vấn đề là tại sao lại suy nghĩ ra điểm I ??? Tại sao I lại là
trung điểm mà không phải là điểm ở vị trí khác???. Nếu không phải $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ mà là $\left| {a.\overrightarrow {MA} + b.\overrightarrow {MB} } \right|$ thì sao với a,b là các số thực???
Giải quyết
vấn đề:
Cho hai điểm phân biệt A,B. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm I
sao cho $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $, tạm gọi I là “điểm bất động” của hệ hai điểm A,B. Bài toán
trên thì M là hình chiếu vuông góc của điểm bất động I trên d.
Nếu cho ba điểm A,B,C phân biệt thì điểm bất động I là trọng
tâm của tam giác ABC.
Nếu 4 điểm thì “điểm bất động” là trung điểm của đoạn thẳng nối
hai trung điểm của hai cạnh đối diện.
Tổng quát, thì với mọi hệ điểm ${A_i},\left( {1 \le i \le n} \right)$ luôn tồn tại một điểm
bất động I sao cho $\sum\limits_{1 \le i \le n} {\overrightarrow {I{A_i}} } = \overrightarrow 0 $.
Áp dụng
Ví dụ: Cho các điểm
A(1;-2), B(0;2), C(3;1) và đường thẳng d: $x + y - 1 = 0$. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho:
a. $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất
b. $\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất
c. $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất
hướng dẫn giải
a.
Gọi I là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $, suy ra: $I\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)$
Khi đó:
Do đó: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất
khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.
(Đến đây xin nhường lại cho bạn đọc)
b.
Gọi I là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $ , Suy ra tọa độ điểm I
Lập luận tương tự ta có M là hình chiếu vuông góc của
điểm I trên đường thẳng d
c.
Chú ý: $M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}$. Khi đó điểm bất động I thỏa $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $
Do đó: M cũng chính là hình chiếu vuông góc của điểm M
trên đường thẳng d. Việc tìm M quá đơn giản phải không các bạn!!!!!
Lời kết:
Việc ứng dụng của điểm bất động rất hữu dụng cho các bài toán như trên. Rất
mong bài viết sẽ hữu ít cho bạn đọc. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn!!!
https://drive.google.com/file/d/0B62MLwgCnw3ZekZ2VUJ6bEZRRTQ/view?usp=sharing
Post a Comment