Bài toán tính tổng các số có n chữ số khác nhau

Bài toán 1: Cho tập hợp A={1;2;3;4;5}. Từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó???
Giải:
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ A có 5!=120 số.
Gọi S(5) là tổng của tất cả các số được lập từ A.
Mỗi chữ số trong một số có 5 chữ số được lập lại 4! lần. Khi đó
S(5)=4!(1+2+3+4+5)(10^4+10^3+10^2+10+1)=3999960

Bài toán 2: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4}. Từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó???
Giải:
Như câu trên, ta có: 5!=120 số có 5 chữ số khác nhau. (xem 0 như 1 số bình thường không có điều kiện chữ số đầu tiên khác 0)
Khi đó, tổng S(5)=4!(0+1+2+3+4)(10^4+10^3+10^2+10+1)=2666640
Gọi S(4) là tổng các số có 4 chữ số ( với 0 là chữ số đầu tiên)
Khi đó: S(4)=3!(0+1+2+3+4)(10^3+10^2+10+1)=66660
Vậy tổng các số có 5 chữ số được lập từ A là S(5)-S(4)=2599980.

Bài toán tổng quát: Tập hợp A gồm n phần tử là các số tự nhiên . Gọi S(n) là tổng của tất cả các số tự nhiên có n chữ số khác nhau được lập từ A là:
S(n+1)-S(n)=n!(0+1+...+n).[10^n+10^(n-1)+...+1]-(n-1)!(0+1+...+n).[10^(n-1)+....+1]