Dùng phương trình tham số đường thẳng giải phương trình

CHUYÊN ĐỀ 4 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ ĐƯỜNG THẲNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LỜI MỞ ĐẦU 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1.1 Giải phương trình: \[\sqrt {{x^3} + 8} + 3\sqrt {12 - {x^3}} = 10\] Bài giải: Đặt \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^3} + 8} = 1 + 3t\\ \sqrt {12 - {x^3}} = 3 - t \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 8 = {\left( {1 + 3t} \right)^2}\\ 12 - {x^3} = {\left( {3 - t} \right)^2} \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {dk:\frac{{ - 1}}{3} \le t \le 3} \right)\] Suy ra: \[20 = {\left( {1 + 3t} \right)^2} + {\left( {3 - t} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1\left( l \right) \end{array} \right.\] Với \[t = 1 \Rightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2\] Vậy \[S = \left\{ 2 \right\}\] Phân tích: Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao lại có phép đặt như vậy? Ý tưởng: \[\underbrace {\sqrt {{x^3} + 8} }_X + 3\underbrace {\sqrt {12 - {x^3}} }_Y = 10\]. Ta có được phương trình đường thẳng: \[X + 3Y = 10\] . Phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l} X = 1 + 3t\\ Y = 3 - t \end{array} \right.\] . Từ đó ta có cách đặt như trên, một lời giải xem như có vẻ không tự nhiên, nhưng thật đẹp phải không!! 1.2 Giải phương trình: \[\sqrt {x + 3} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1\] Bài giải: Đặt \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 3} = 1 - t\\ \sqrt[3]{{x + 2}} = t \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \le 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 = 1 - 2t + {t^2}\\ x + 2 = {t^3} \end{array} \right.\] Suy ra: \[ - 1 = {t^3} - {t^2} + 2t - 1 \Leftrightarrow {t^3} - {t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = - 2\] Vậy \[S = \left\{ { - 2} \right\}\] Phân tích: Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao lại có phép đặt như vậy? Ý tưởng:\[\underbrace {\sqrt {x + 3} }_X + \underbrace {\sqrt[3]{{x + 2}}}_Y = 1\] . Ta có được phương trình đường thẳng: \[X + Y = 1\]. Phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l} X = 1 - t\\ Y = t \end{array} \right.\] . Từ đó ta có cách đặt như trên, một lời giải xem như có vẻ không tự nhiên, nhưng thật đẹp phải không!! 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG 3.1 Giải phương trình: \[\sqrt[4]{{17 - {x^8}}} - \sqrt[4]{{2{x^8} - 1}} = 1\] 3.2 Giải phương trình: \[\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} = 1\] 3.3 Giải phương trình: \[5\sqrt[3]{{6 - x}} + 2\sqrt {3x + 7} = 1\] 3.4 Giải phương trình: \[\sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1} \] 3.5 Giải phương trình: \[\sqrt[3]{{5 + 3x}} + \sqrt {3 - 2x} = 3\] 3.6 Giải phương trình: \[2\sqrt[3]{{3x - 2}} + 3\sqrt {6 - 5x} - 8 = 0\] Đại học khối A – 2009 3.7 Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x + 1} = 1\\ 3x + y = 4 \end{array} \right.$ 3.8 Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x - y} = 1\\ 3x + 2y = 4 \end{array} \right.$ 4. TỔNG KẾT 4.1 ƯU ĐIỂM - Có thể giải được một số phương trình, hệ phương trình chứa căn một cách nhanh chóng. 4.2 NHƯỢC ĐIỂM - Chỉ giải được các phương trình chỉ có hai căn thức, với điều kiện bậc của biến như nhau. - Đối với các phương trình có hai căn nhưng biến lệch bậc thì việc giải theo phương pháp này sẽ dẫn đến các phương trình bậc cao, có vẻ rắc rối. TẠI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số tài liệu trên internet có nguồn góc từ: Diễn đàn toán học, Tài liệu về hệ phương trình của Thầy Lê Văn Đoàn, Thầy Nguyễn Minh Hiếu, thủ thuật máy tính của Alexander Viet,….Và rất nhiều nguồn khác nhau trên internet.